Den nächsten großen Schritt für die Vektorrechnung macht H. G. Graßmann 1844 mit seiner "linearen Ausdehnungslehre". Er verwendet dabei den allgemeinen Begriff der "extensiven Größe beliebiger Stufe". In der einfachsten Stufe ist dies ein n-dimensionaler Vektor. Der Durchbruch der "Vektorrechnung" Graßmanns erfolgt durch Giuseppe Peanos Arbeit von 1888, indem er Graßmanns Arbeit unter dem axiomatisch gefassten Begriff des Vektorraumes modernisiert.